PULAU CINTA

Alkisah di suatu pulau kecil, tinggallah berbagai macam benda-benda abstrak : ada Cinta, Kesedihan, Kekayaan, Kegembiraan dan sebagainya. Mereka hidup berdampingan dengan baik. Namun suatu ketika, datang badai menghempas pulau kecil itu dan air laut tiba-tiba naik dan akan menenggelamkan pulau itu. Semua penghuni pulau cepat-cepat berusaha menyelamatkan diri. Cinta sangat kebingungan sebab ia tidak dapat berenang dan tak mempunyai perahu. Ia berdiri di tepi pantai mencoba mencari pertolongan. Sementara itu air makin naik membasahi kaki Cinta. Tak lama Cinta melihat Kekayaan sedang mengayuh perahu. "Kekayaan! Kekayaan! Tolong aku!" teriak Cinta. "Aduh! Maaf, Cinta!" kata Kekayaan, "perahuku telah penuh dengan harta bendaku. Aku tak dapat membawamu serta, nanti perahu ini tenggelam. Lagipula tak ada tempat lagi bagimu di perahuku ini." Lalu Kekayaan cepat-cepat mengayuh perahunya pergi. Cinta sedih sekali, namun kemudian dilihatnya Kegembiraan lewat dengan perahu....
... baca selengkapnya di Cerita Motivasi dan Inspirasi Nomor 1

TUHAN, TAKDIR DAN SETAN

Ada seorang pemuda yang mencari seorang guru agama, pemuka agama atau siapapun yang bisa menjawab 3 pertanyaannya. Akhirnya sang pemuda itu menemukan seorang bijaksana. Pemuda : Anda siapa? Bisakah menjawab pertanyaan-pertanyaan saya? Bijaksana : Saya hamba Allah dan dengan izin-Nya saya akan menjawab pertanyaan anda. P : Anda yakin? Sedang profesor dan banyak orang pintar saja tidak mampu menjawab pertanyaan saya. B : Saya akan mencoba sejauh kemampuan saya. P : Saya punya 3 buah pertanyaan. 1. Kalau memang Tuhan itu ada, tunjukkan wujud Tuhan kepada saya. 2. Apakah yang dinamakan takdir? 3. Kalau setan diciptakan dari api kenapa dimasukkan ke neraka yang terbuat dari api, tentu tidak menyakitkan buat setan, sebab mereka memiliki unsur yang sama. Apakah Tuhan tidak pernah berfikir sejauh itu? Tiba-tiba sang orang bijaksana tersebut menampar pipi si pemuda dengan keras. P(sambil menahan sakit) : Kenapa anda marah kepada saya? B : Saya tidak marah... Tamparan itu adalah jawaba....
... baca selengkapnya di Cerita Motivasi dan Inspirasi Nomor 1

PAKAIAN KEBAHAGIAAN

Suatu ketika, tersebutlah seorang raja yang kaya raya. Kekayaannya sangat melimpah. Emas, permata, berlian, dan semua batu berharga telah menjadi miliknya. Tanah kekuasaannya, meluas hingga sejauh mata memandang. Puluhan istana, dan ratusan pelayan siap menjadi hambanya. Karena ia memerintah dengan tangan besi, apapun yang diinginkannya hampir selalu diraihnya. Namun, semua itu tak membuatnya merasa cukup. Ia selalu merasa kekurangan. Tidurnya tak nyenyak, hatinya selalu merasa tak bahagia. Hidupnya, dirasa sangatlah menyedihkan. Suatu hari, dipanggillah salah seorang prajurit tebaiknya. Sang Raja lalu berkata, “Aku telah punya banyak harta. Namun, aku tak pernah merasa bahagia. Karena itu, ujar sang raja, “aku akan memerintahkanmu untuk memenuhi keinginanku. Pergilah kau ke seluruh penjuru negeri, dari pelosok ke pelosok, dan temukan orang yang paling berbahagia di negeri ini. Lalu, bawakan pakaiannya kepadaku.” “Carilah hingga ujung-ujung cakrawala dan buana. Jika aku bisa....
... baca selengkapnya di Cerita Motivasi dan Inspirasi Nomor 1

KETIKA KAISAR MEMERINTAH DENGAN BELAS KASIH

Tahun pertama masa Zhenguan, Kaisar Tang Taizong memberitahu kepala personil kerajaan, “Kehidupan perempuan di lingkungan istana sangat memprihatinkan. Pada akhir Dinasti Sui, istana kerajaan terlalu banyak merekrut tenaga kerja perempuan. Banyak dari mereka tinggal di kota lingkar luar istana, dimana kaisar jarang berkunjung; hal mana hanya menghamburkan uang dan tenaga. Saya tidak menyukai situasi ini. Yang mereka lakukan hanya membersihkan rumah. Apa lagi yang dapat mereka lakukan? Biarkan mereka pulang ke rumah dan menikah. Kita dapat menghemat uang dan orang-orang akan lebih bahagia serta memiliki kehidupan pribadinya.” Setelah itu, istana kerajaan mengirim pulang lebih dari 3.000 perempuan. Tahun kedua masa Zhenguan, Tiongkok Tengah mengalami masa kekeringan diikuti dengan kelaparan yang parah. Kaisar Tang Taizong mengatakan kepada menteri-menterinya, “Cuaca yang ekstrim adalah akibat dari kekurangan De (kebajikan, budi pekerti) pada diri saya, saya memerintah tidak berd....
... baca selengkapnya di Cerita Motivasi dan Inspirasi Nomor 1

MONEY & EGO

Dear Sahabat AturKeuangan yang bijak, Selamat pagi, Senang bisa menjumpai Anda kembali pada hari ini. Pagi ini saya ingin share pengalaman kita semua, dengan tema: "MONEY & EGO" Seringkali dalam percakapan keuangan kita dengan pasangan, dimulai dari hal yang sangat sederhana dan mungkin tidak terlalu "penting". Entah itu membicarakan pulsa telepon, atau uang listrik, atau biaya langganan tv kabel. Perhatikan baik-baik: "Bila kita ingin ngomongin uang, sebaiknya cari waktu leluasa dan pakailah intonasi yang tetap rendah!" Seringkali bahan omongan keuangan yang simple, dapat memicu perasaan dan membuat suasana hari (dan hati) menjadi kelabu. "Jangan omongin uang dengan sambil lalu, atau sambil melakukan hal lain dan dalam waktu yang sempit!" Uang sendiri adalah benda yang netral dan tidak mengandung "magic", namun diri kita sendiri yang sesungguhnya mengandung "magic". Dapat membuat uang sebagai sumber kebahagiaan dan solusi, atau sebaliknya. Pertengkaran dalam percakap
... baca selengkapnya di ATUR KEUANGAN Rencana Finansial Nomor 1

PADA AKHIRNYA

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma

<html>
<head></head>
<body>
<h1><b><big>Kompetensi dasar : </big></b></h1><hr>
<ul>
<li>Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan logaritma dalam pemecahan masalah</li>
<li>Melakukan manipulasi dalam perhitungan teknis yang berkaitan pangkat, akar dan logaritma</li>
</ul>
Alokasi Waktu : 24 jam pelajaran (12 kali pertemuan)<br>
Dilaksanakan : pada pertemuan 1 sampai dengan 12<br>
Indikator hasil belajar : <br>
<ol>
<li>Mengubah bentuk pangkat negatif ke penagkat positif dan sebaliknya</li>
<li>Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya</li>
<li>Mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya</li>
<li>Melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, akar dan logaritma</li>
<li>Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional</li>
<li>Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat logaritma</li>
<li>Merasionalkan bentuk akar</li>
<li>Membuktikan sifat-sifat yang sederhana tentang bentuk pangkat, akar dan logaritma</li>
</ol>
<p>
<ol>
<h1><b><big><li>Ringkasan materi</li></big></b><h1><hr>
<ol>
<li>Pangkat negatif</li>

</ol>

</ol>

</body>
</html>

Pangkat Rasional dan Bentuk Akar

Setelah mempelajari pokok bahasan Pangkat Rasional dan Bentuk Akar, diharapkan kita dapat mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya serta dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat.

Pangkat Bulat Positif

---

Pengertian Pangkat Bulat Positif

---

Untuk memahami pengertian pangkat bulat positif, perhatikan perkalian beberapa bilangan dengan faktor-faktor yang sama seperti dibawah ini
2 x 2 x 2
3 x 3 x 3 x 3
4 x 4 x 4 x 4 x 4
Perkalian seperti diatas sering disebut sebagai perkalian berulang. Perkalian berulang seperti itu dapat dituliskan dalam bentuk bilangan berpangkat.
2 x 2 x 2 , ditulus dalam bentuk bilangan berpangkat sebagai 2³
3 x 3 x 3 x 3 , ditulus dalam bentuk bilangan berpangkat sebagai 3⁴
4 x 4 x 4 x 4 x 4 , ditulus dalam bentuk bilangan berpangkat sebagai 4⁵
Bentuk 2³ dibaca : 2 pangkat 3 atau 2 dipangkatkan 3) disebut bilangan berpangkat. Bilangan 2 disebut bilangan pokok atau bilangan dasar dan bilangan 3 yang ditulis agak ke atas, disebut pangkat atau eksponen.
Begitu pula bentuk-bentuk:
3⁴ (dibaca 3 pangkat 4), 3 merupakan bilangan pokok dan 4 merupakan pangkat.
4⁵ (dibaca 4 pangkat 5), 4 merupakan bilangan pokok dan 5 merupakan pangkat.
Dari uraian di atas kita dapat mengambil kesimpulan sebagai berikut :
Jika a bilangan real (a elemen bilangan real) dan n bilangan bulat positif lebih besar dari 1, maka a pangkat n (ditulis aⁿ) ditentukan sebagai perkalian n buah faktor dengan tiap faktornya adalah a. Dalam bentuk matematik, pernyataan tersebut dapat dituluskan sebagai :
aⁿ = a x a x a x ... x a x a x a terdiri dari n buah faktor yang sama.
Bentuk aⁿ merupakan bilangan berpangkat dengan pangkat bilangan positif, a disebut bilangan pokok, n disebut pangkat. untuk n = 1 ditetapkan a' = a.


Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Positif

---

Operasi aljabar pada bilangan berpangkat dengan pangkat bilangan positif memenuhi sifat-sifat tertentu. Untuk memahami sifat-sifat operasi aljabar yang berlaku pada bilangan dengan pangkat bulat positif, perhatikanlah beberapa contoh berikut ini.


Contoh 1:

---

Dengan menuliskan dalam bentuk faktor-faktornya, tunjukkanlah bahwa :
1. 5³ x 5 = 5⁴
2. (1/3)³ x (1/3)² = (1/3)⁵
3. a² x a = a³
4. b⁴ x b³ = b⁷

Jawab:

---

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma

Inti Materi

1. Bentuk pangkat (eksponen)
2. Notasi Ilmiah
3. Bentuk akar dan pangkat rasional
4. Logaritma

Kata Kunci

• Pangkat (eksponen)
• Akar
• Bilangan Pokok (Basis)
• Logaritma
• Numerus

Materi dan Uji Prasyarat

Masihkah kamu ingat materi berikut?

• Operasi aljabar pada bilangan, pengurangan, perkalian dan pembagian
• Sifat-sifat operasi aljabar pada bilangan
1. Komutatif
1. Terhadap operasi penjumlahan, a + b = b + a
2. Terhadap operasi perkalian, a . b = b . a
2. Asosiatif
1. Terhadap operasi penjumlahan, a + (b + c) = (a + b) + c
2. Terhadap operasi perkalian, a . (b . c) = (a . b) . c
3. Distributif, a . (b + c) = a . b + a . c

Apakah kamu mempunyai rekaning tabungan di bank? Misalnya, seorang nasabah membuka rekening tabungan di suatu bank sebesar Rp. 100.000,- dengan bunga majemuk 10% per tahun. Besarnya tabungan nasabah tersebut setiap akhir dapat dihitung ?
Tahun pertama besarnya tabungan 100 + (10% x 100) = 100 (1,1)
Tahun kedua besarnya tabungan 100 (1,1) x (10% x 100(1,1)) = 100 (1,1)(1 + 10%) = 100(1,1)(1,1)
...
Tahun ke n besarnya tabungan 100 (1,1)(1,1) ... (1,1) sampai n faktor
Secara umum, tabungan nasabah tersebut pada akhir tahun ke-n adalah 100 (1,1)ⁿ (dalam ribuan rupiah)
Dengan demikian, kamu dapat menentukan besarnya tabungan nasabah tersebut pada akhir tahun ke-n. Misalnya, pada akhir tahun ke-3, besarnya tabungan nasabah tersebut adalah 100(1,1)³ (dalam ribuan rupiah) = Rp. 133.100,- .
Kasus tersebut merupakan contoh penerapan bentuk pangkat.
Sebaliknya, bagaimanakah jika ingin mengetahui lamanya waktu menabung sedemikian sehingga tabungan nasabah tersebut harus menunggu supaya jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat saldo awalnya? Dalam hal ini, kamu diminta mencari nilai n sedemikian sehingga 200 = 100 (1,1)ⁿ (dalam ribuan rupiah).
Adapun pada kasus terakhir tersebut merupakan konsep bentuk logaritma. Kamu akan mempelajari bentuk pangkat dan bentuk logaritma pada bagian ini.
Bentuk pangkat diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Prancis yang bernama Rene Descartes (1596 - 1650). Pada awalnya, bentuk diperkenalkan sebagai cara untuk menuliskan perkalian bilangan berulang secara efisien. Misalnya, bentuk perkalian berulang 2 x 2 x 2 x 2 x 2 dapat ditulis sebagai 2⁵, yang dibaca dengan "2 pangkat 5" atau "2 eksponen 5". Dalam hal ini, penulisan 2⁵ dinamakan bentuk pangkat, dengan 2 disebut bilangan pokok (basis) dan 5 disebut pangkat (eksponen). Kamu dapat memperhatikan bahwa cara menyatakan perkalian berulang dengan notasi 2⁵ akan lebih sederhana dan efisien dibandingkan dengan menuliskan 2 x 2 x 2 x 2 x 2. Apalagi jika pangkat (eksponen) merupakan bilangan yang sangat besar. Pangkat (eksponen) dapat berupa bilangan bulat atau bilangan rasional. Pada bagian ini akan dibahas pangkat (eksponen) berupa bilangan bulat.

Pangkat Bulat Positif

Pangkat bulat positif merupakan bentuk pangkat dengan pangkat (eksponen) berupa bilangan bulat positif dan bilangan pokok (basis) berupa bilangan real.

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma

Kompetensi Dasar

• Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan logaritma dalam pemecahan masalah.
• Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan pangkat, akar dan logaritma.

Motivasi

Banyak besaran yang begitu kecil atau begitu kecil atau begitu besar sehingga menuliskannya saja memakan waktu, tempat dan juga sangat membosankan. Belum lagi jika kita harus melakukan perhitungan (operasi) dengan angka-angka tersebut. Misalnya, massa proton adalah 0,00000000000000000000000167 gram atau hutang Indonesia sebesar Rp. 1.300.000.000.000.000,-.
Bayangkan jika setiap kali kita harus menuliskan bilangan sebanyak itu. Apalagi jika kita harus melakukan operasi dengan bilangan-bilangan tersebut, misalnya mengkuadratkannya. Tidakkah ada cara untuk menyederhanakan bentuk-bentuk seperti di atas? Tentu saja ada. Caranya adalah dengan menggunakan bilangan berpangkat dan memanfaatkannya sifat-sifatnya.

Wizeman Sayz:

Memahami bentuk-bentuk penyederhanaan berarti meringkas permasalahan dan sekaligus mengurangi resiko kesalahan dalam perhitungan dan penulisan.

Bilangan berpangkat

Pangkat bulat Positif

Perhatikan bentuk perkalian berulang berikut

• 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 dapat ditulis 2⁷
• (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) dapat ditulis (-3)⁶
• 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 dapat ditulis (1/2)⁸

Bilangan 2⁷, (-3)⁶ dan (1/2)⁸ disbut bilangan berpangkat. Bilangan berpangkat terdiri dari dua bagian, yaitu bilangan pokok (basis) dan pangkat (eksponen). Pada bilangan berpangkat 2⁷, angka 2 merupakan bilangan pokok dan angka 7 merupakan pangkat. Secara umum dapat disimpulkan bahwa :
aⁿ = a x a x a x a x a x ... x a dengan n faktor
dengan,
aⁿ disebut bilangan dengan pangkat bulat positif,
a disebut bilangan pokok atau basis a elemen bilangan R n disebut pangkat atau eksponen, n elemen bilangan positif.

Sifat-sifat bilangan dengan pangkat bulat positif

Berikut adalah sifat-sifat bilangan dengan pangkat bulat positif, yang pembuktiannya kebanyakan menggunakan sifat asosiatif dan komutatif perkalian dan sifat pembagian dengan penyebut tak nol.

Sifat komutatif perkalian

a x b x c = a x c x b = c x a x b

Sifat asosiatif perkalian

(a x b) x c = a x (b x c)

Sifat pembagian

a : a = 1, asalkan a tidak sama dengan 0

Sifat-sifat bilangan dengan pangkat bulat positif

Misalkan a, b elemen bilangan R dan m, n adalah bilangan bulat positif dengan m lebih besar atau sama dengan n, maka :

1. a^m x aⁿ = a^m+n
2. a^m : aⁿ = a^m-n
3. (a^m)ⁿ = a^mn
4. (a x b)ⁿ = aⁿ x bⁿ
5. (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, b tidak sama dengan 0

Bukti

1. a^m x aⁿ = (a x a x ... x a) x (a x a x ... x a) = (a x a x ... x a x a x a x ... x a) = a^m+n
2. a^m : aⁿ = (a x a x ... x a) : (a x a x ... x a) = (a x a x ... x a : a x a x ... x a) = a^m-n
3. (a^m)ⁿ = (a^m) x (a^m) x ... x (a^m) = (a x a x ... x a) x (a x a x ... x a) x ... x (a x a x ... x a) = a^{m x n}
5. (a x b) =