Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma

Kompetensi Dasar

• Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan logaritma dalam pemecahan masalah.
• Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan pangkat, akar dan logaritma.

Motivasi

Banyak besaran yang begitu kecil atau begitu kecil atau begitu besar sehingga menuliskannya saja memakan waktu, tempat dan juga sangat membosankan. Belum lagi jika kita harus melakukan perhitungan (operasi) dengan angka-angka tersebut. Misalnya, massa proton adalah 0,00000000000000000000000167 gram atau hutang Indonesia sebesar Rp. 1.300.000.000.000.000,-.
Bayangkan jika setiap kali kita harus menuliskan bilangan sebanyak itu. Apalagi jika kita harus melakukan operasi dengan bilangan-bilangan tersebut, misalnya mengkuadratkannya. Tidakkah ada cara untuk menyederhanakan bentuk-bentuk seperti di atas? Tentu saja ada. Caranya adalah dengan menggunakan bilangan berpangkat dan memanfaatkannya sifat-sifatnya.

Wizeman Sayz:

Memahami bentuk-bentuk penyederhanaan berarti meringkas permasalahan dan sekaligus mengurangi resiko kesalahan dalam perhitungan dan penulisan.

Bilangan berpangkat

Pangkat bulat Positif

Perhatikan bentuk perkalian berulang berikut

• 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 dapat ditulis 2⁷
• (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) dapat ditulis (-3)⁶
• 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 dapat ditulis (1/2)⁸

Bilangan 2⁷, (-3)⁶ dan (1/2)⁸ disbut bilangan berpangkat. Bilangan berpangkat terdiri dari dua bagian, yaitu bilangan pokok (basis) dan pangkat (eksponen). Pada bilangan berpangkat 2⁷, angka 2 merupakan bilangan pokok dan angka 7 merupakan pangkat. Secara umum dapat disimpulkan bahwa :
aⁿ = a x a x a x a x a x ... x a dengan n faktor
dengan,
aⁿ disebut bilangan dengan pangkat bulat positif,
a disebut bilangan pokok atau basis a elemen bilangan R n disebut pangkat atau eksponen, n elemen bilangan positif.

Sifat-sifat bilangan dengan pangkat bulat positif

Berikut adalah sifat-sifat bilangan dengan pangkat bulat positif, yang pembuktiannya kebanyakan menggunakan sifat asosiatif dan komutatif perkalian dan sifat pembagian dengan penyebut tak nol.

Sifat komutatif perkalian

a x b x c = a x c x b = c x a x b

Sifat asosiatif perkalian

(a x b) x c = a x (b x c)

Sifat pembagian

a : a = 1, asalkan a tidak sama dengan 0

Sifat-sifat bilangan dengan pangkat bulat positif

Misalkan a, b elemen bilangan R dan m, n adalah bilangan bulat positif dengan m lebih besar atau sama dengan n, maka :

1. a^m x aⁿ = a^m+n
2. a^m : aⁿ = a^m-n
3. (a^m)ⁿ = a^mn
4. (a x b)ⁿ = aⁿ x bⁿ
5. (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, b tidak sama dengan 0

Bukti

1. a^m x aⁿ = (a x a x ... x a) x (a x a x ... x a) = (a x a x ... x a x a x a x ... x a) = a^m+n
2. a^m : aⁿ = (a x a x ... x a) : (a x a x ... x a) = (a x a x ... x a : a x a x ... x a) = a^m-n
3. (a^m)ⁿ = (a^m) x (a^m) x ... x (a^m) = (a x a x ... x a) x (a x a x ... x a) x ... x (a x a x ... x a) = a^{m x n}
5. (a x b) =